Question

【題目】如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，EC.已知AB＝5，DE＝2，BD＝12，設CD＝x.

(1)用含x的代數式表示AC＋CE的長；

(2)請問點C在BD上什么位置時，AC＋CE的值最��？

(3)根據(2)中的規律和結論，請構圖求出代數式的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）25

【解析】分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最��；
（3）由（1）（2）的結果可作BD=24，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，連接AE交BD于點C，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值就是代數式的最小值．

詳解：

(1)

(2)當點C是AE和BD交點時，AC＋CE的值最�。�

∵AB∥ED，AB＝5，DE＝2，

∴ ，

又∵BC＋CD＝BD＝12，則BC＝CD，

∴CD＋CD＝12，解得CD＝，BC＝.

故點C在BD上距離點B的距離為時，AC＋CE的值最小　

(3)如圖，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB＝4，ED＝3，DB＝24，連接AE交BD于點C，

∵AE＝AC＋CE＝

∴AE的長即為代數式的最小值．

過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，則AB＝DF＝4，AF＝BD＝24，

所以AE＝＝25，

即AE的最小值是25.即代數式的最小值為25