Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動點P從B點出發，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D 出發，沿線段DA向點A作勻速運動．過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點N．P、Q兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度．當Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動．設點Q運動的時間為t秒．
小題1:求NC，MC的長（用t的代數式表示）
小題2:當t為何值時，四邊形PCDQ構成平行四邊形？
小題3:當t為何值時，射線QN恰好將△ABC的面積平分？并判斷此時△ABC的周長是否也被射線QN平分．

Answer 1

小題1:∵AQ=3﹣t，
∴CN=4﹣（3﹣t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM===，CM=；（3分）
小題2:由于四邊形PCDQ構成平行四邊形，
∴PC=QD，即4﹣t=t，
解得t=2，
則當t=2時，四邊形PCDQ構成平行四邊形；（6分）
小題3:∵NC=t+1，MN=，
∴S_△MNC=×4×3，…（8分）
∴（1+t）²=8，
∴t₁=2﹣1，t₂=﹣2﹣1（舍）…（9分）
∴當t=2﹣1時，△ABC的面積被射線QN平分．…（10分）
當t=﹣2﹣1時，MC+NC=+1+t=≠（3+4+5），
∴此時△ABC的周長不被射線QN平分．…（12分）

（1）依據題意易知四邊形ABNQ是矩形∴NC=BC﹣BN=BC﹣AQ=BC﹣AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解，然后在直角三角形ABC中，由AB與BC的長根據勾股定理可求CA=5，從而得到cos∠NCM==，而cos∠NCM也等于，最后把表示出的CN代入即可表示出CM；
（2）四邊形PCDQ構成平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等得到PC=DQ，列出方程4﹣t=t即解；
（3）根據QN平分△ABC的面積，得到三角形CMN的面積等于三角形ABC面積的一半，根據三角形的面積公式，利用表示出的CN與MN的值表示出三角形CMN的面積，讓其等于三角形ABC面積的一半，得到關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，然后把t的值代入表示出的MC與NC中，求出兩線段的和，再根據AB、AC與BC的值求出三角形ABC的周長的一半，看與MC和NC兩線段的和是否相等，從而判斷出此時△ABC的周長是否也被射線QN平分．