Question

在□ABCD中，過點C作CE⊥CD交AD于點E，將線段EC繞點E逆時針旋轉90°得到線段EF（如圖（1））。
（1）在圖（1）中畫圖探究：
①當P₁為射線CD上任意一點（P不與C點重合）時，連接EP₁，將線段EP，繞點E逆時針旋轉90°得到線段EC₁，判斷直線FG₁與直線CD的位置關系并加以證明；
②當P₂為線段DC的延長線上任意一點時，連接EP₂，將線段EP₂繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG₂，判斷直線G₁G₂與直線CD的位置關系， 畫出圖形并直接寫出你的結論；
（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的條件下，設CP₁=x，=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍。

Answer 1

解：（l）①直線FG1與直線CD的位置關系為互相垂直，證明：如圖（1）， 設直線FG1與直線CD的交點為H， ∵線段EC、EP1分別繞點E逆時針旋轉90°依次得到線段EF、EG1， ∴∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC， ∵∠G1EF=90°-∠P1EF ∠P1EC=90°-∠P1EF， ∴∠G1EF=∠P1EC， ∴△G1EF≌△P1EC， ∴∠G1FE=∠P1CE， ∵EC⊥CD， ∴∠ P1CE=90°， ∴∠G1FE=90°， ∴∠EFH=90°， ∴∠FHC=90°， ∴FG1⊥CD， ②按題目要求所畫圖形見圖（1），直線G1G2與直線CD的位置關系為互相垂直。

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠B=∠ADC， ∵AD=6，AE=1，tanB=， ∴DE=5，tan∠EDC=tanB=， 可得CE=4， 由（1）可得四邊形FECH為正方形， ①如圖（2）當P1點在線段CH的延長線上時， ∵FG1=CP1=x，P1H=x-4， ∴=×FG1×P1H= ∴y=x2-2x（x>4）， ②如圖（3），當P，點在線段CH上（不與C、H 兩點重合）時， ∴FG1=CP1=x，P1H=4-x， ∴=×FG1×P1H= ∴y=-x2+2x（0 ＜x＜4）， ③當P1點與H點重合時，即x=4時，△P1FG1不存在， 綜上所述，y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍是y=x2-2x（x ＞4）或y=-x2+2x（0＜x＜4）。