如圖,四邊形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,過點D作DE⊥AC,垂足為F,DE與AB相交于點E.
(1)求證:AB·AF=CB·CD;
(2)已知AB=15 cm,BC=9 cm,P是射線DE上的動點.設DP=x cm(),四邊形BCDP的面積為y cm2.
①求y關于x的函數關系式;
②當x為何值時,△PBC的周長最小,并求出此時y的值.
證明:(1)∵,
,∴DE垂直平分AC,
∴,∠DFA=∠DFC
=90°,∠DAF=∠DCF.
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,
∴∠DCF=∠DAF=∠B.
∴△DCF∽△ABC.
∴,即
.
∴AB·AF=CB·CD.
(2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴,∴
.
∴(
).
②∵BC=9(定值),∴△PBC的周長最小,就是PB+PC最。桑1)知,點C關于直線DE的對稱點是點A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最。
顯然當P、A、B三點共線時PB+PA最小.
此時DP=DE,PB+PA=AB.
由(1),,
,得△DAF∽△ABC.
EF∥BC,得,EF=
.
∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.
∴AD=10.
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,
∴DF=8.
∴.
∴當時,△PBC的周長最小,此時
.
【解析】(1)根據已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB,從而利用有兩對角對應相等的兩三角形相似,得到△DFA∽△ACB,根據相似三角形的對應邊成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD;
(2)①根據勾股定理求出AC的長,從而求得CF的長,根據題意四邊形BCDP是梯形,根據梯形的面積公式即可得到求y關于x的函數關系式;②根據兩點之間線段最短,當點P在AB上時,PA+PB最小即點P與E重合時,△PBC周長最小,從而利用勾股定理分別求得AC、AF、AE、DE的長,從而就求得了x的值.
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