【題目】下面是小方設計的“作一個30°角”的尺規作圖過程.
已知:直線AB及直線AB外一點P.
求作:直線AB上一點C,使得∠PCB=30°.
作法:
①在直線AB上取一點M;
②以點P為圓心,PM為半徑畫弧,與直線AB交于點M、N;
③分別以M、N為圓心,PM為半徑畫弧,在直線AB下方兩弧交于點Q.
④連接PQ,交AB于點O.
⑤以點P為圓心,PQ為半徑畫弧,交直線AB于點C且點C在點O的左側.則∠PCB就是所求作的角.
根據小方設計的尺規作圖過程,
(1)使用直尺和圓規補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵PM=PN=QM=QN,
∴四邊形PMQN是 .
∴PQ⊥MN,PQ=2PO( ).(填寫推理依據)
∵在Rt△POC中,sin∠PCB== (填寫數值)
∴∠PCB=30°.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線
,與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側).
(1)求點A和點B的坐標;
(2)若點P(m,n)是拋物線上的一點,過點P作x軸的垂線,垂足為點D.
①在的條件下,當
時,n的取值范圍是
,求拋物線的表達式;
②若D點坐標(4,0),當時,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過B點作BF∥AC,過C點作CF∥BD,BF與CF相交于點F.
(1)求證:四邊形BFCO是菱形;
(2)連接OF、DF,若AB=2,tan∠OFD=,求AC的長.
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【題目】在△ABM中,∠ABM=90°,以AB為一邊向△ABM的異側作正方形ABCD,以A為圓心,AM為半徑作⊙A,我們稱正方形ABCD為⊙A的“關于△ABM的友好正方形”,如果正方形ABCD恰好落在⊙A的內部(或圓上),我們稱正方形ABCD為⊙A的“關于△ABM的絕對友好正方形”,例如,圖1中正方形ABCD是⊙A的“關于△ABM的友好正方形”.
(1)圖2中,△ABM中,BA=BM,∠ABM=90°,在圖中畫出⊙A的“關于△ABM的友好正方形ABCD”.
(2)若點A在反比例函數y=(k>0,x>0)上,它的橫坐標是2,過點A作AB⊥y軸于B,若正方形ABCD為⊙A的“關于△ABO的絕對友好正方形”,求k的取值范圍.
(3)若點A是直線y=﹣x+2上的一個動點,過點A作AB⊥y軸于B,若正方形ABCD為⊙A的“關于△ABO的絕對友好正方形”,求出點A的橫坐標m的取值范圍.
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【題目】如圖1,在弧MN和弦MN所組成的圖形中,P是弦MN上一動點,過點P作弦MN的垂線,交弧MN于點Q,連接MQ.已知MN=6cm,設M、P兩點間的距離為xcm,P、Q兩點間的距離為y1cm,M、Q兩點間的距離為y2cm.小軒根據學習函數的經驗,分別對函數y1,y2隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究.下面是小軒的探究過程,請補充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,分別得到了y1,y2與x的幾組對應值:x/cm.
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 0 | 2.24 | 2.83 | 3.00 | 2.83 | 2.24 | 0 |
y2/cm | 0 | 2.45 | 3.46 | 4.24 | m | 5.48 | 6 |
上表中m的值為 .(保留兩位小數)
(2)在同一平面直角坐標系xOy(圖2)中,函數y1的圖象如圖,請你描出補全后的表中y2各組數值所對應的點(x,y2),并畫出函數y2的圖象;
(3)結合函數圖象,解決問題:當△MPQ有一個角是30°時,MP的長度約為 cm.(保留兩位小數)
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【題目】如圖,在ABCD中,AC,BD交于點O,且AO=BO.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分線DE交AB于點E,當AD=3,tan∠CAB=時,求AE的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,點
,若射線
上存在點
,使得
是以
為腰的等腰三角形,就稱點
為線段
關于射線
的等腰點.
(1)如圖, ,
①若,則線段
關于射線
的等腰點的坐標是_____;
②若,且線段
關于射線
的等腰點的縱坐標小于1,求
的取值范圍;
(2) 若,且射線
上只存在一個線段
關于射線
的等腰點,則
的取值范圍是__________.
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【題目】2022年在北京將舉辦第24屆冬季奧運會,很多學校都開展了冰雪項目學習.如圖,滑雪軌道由AB,BC兩部分組成,AB,BC的長度都為200米,一位同學乘滑雪板沿此軌道由A點滑到了C點,若AB與水平面的夾角α為20°,BC與水平面的夾角β為45°,則他下降的高度為多少米.(結果保留整數)(參考數據sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)
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