Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，點E在⊙O上， CE=CA，

AB，CE的延長線交于點F．

（1）求證：CE與⊙O相切；

（2）若⊙O的半徑為3，EF=4，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OE，OC，通過三角形求得證得∠OEC=∠OAC，從而證得OE⊥CF，即可證得結論；（2）根據勾股定理求得OF，解直角三角形求得tanF＝OEEF＝34．進而求得AC=6，從而求得△ABC是等腰直角三角形，根據勾股定理求得BC，然后根據等腰三角形三線合一的性質求得DB即可．

解：（1）連接OE，OC．

在△OEC與△OAC中，

∴△OEC≌△OAC．

∴∠OEC=∠OAC．

∵∠OAC=90°，

∴∠OEC=90°．

∴OE⊥CF于E．

∴CF與⊙O相切．

（2）解：連接AD．

∵∠OEC=90°，

∴∠OEF=90°．

∵⊙O的半徑為3，

∴OE=OA=3．

在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE= 3，EF= 4，

∴，

．

在Rt△FAC中，∠FAC=90°，，

∴．

∵AB為直徑，

∴AB=6=AC，∠ADB=90°．

∴BD=．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴．

∴BD=．