Question

（2010•甌海區二模）如圖，矩形ABCD的頂點A、D在拋物線上，B、C在x軸的正半軸上，且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區域里．
（1）設點A的橫坐標為x，試求矩形的周長P關于變量x的函數表達式；
（2）當點A運動到什么位置時，相應矩形的周長最大？最大周長是多少？
（3）在上述這些矩形中是否存在這樣一個矩形，它的周長為7？若存在，求出該矩形的各頂點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形和拋物線的對稱性可知：BC=AD=OE-2x，因此求矩形的周長，就必須先求出E點的坐標，根據已知拋物線的解析式，易求得E點的坐標，進而可得到BC的表達式，利用矩形的周長公式即可得到關于P、x的函數關系式．
（2）將（1）題所得函數關系式化為頂點坐標式，進而可求得P的最大值及對應的x的值．
（3）將P=7代入（1）題的函數關系式中，即可求得對應的x的值，進而可根據A點坐標和矩形各邊長的表達式求出各頂點的坐標．
解答：解：（1）令y=0，得，
解得x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0）；（2分）
∴=，（2分）
即P=．

（2）∵（2分）
∴當時，P的最大值為；（2分）
故當點A運動到（，）時，矩形的周長最大，且最大值為．

（3）存在；（1分）
當P=7時，得
即4x²-4x-3=0，
解得，；（1分）
∵0＜x＜2，
∴；
當時，，
∴，，．（2分）
點評：此題主要考查了矩形、拋物線的性質，二次函數解析式的確定，二次函數最值的應用等知識，難度適中．