Question

已知：關于x的一元二次方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0①
（1）求證：方程①有兩個實數根；
（2）若m-n-1=0，求證：方程①有一個實數根為1；
（3）在（2）的條件下，設方程①的另一個根為a．當x=2時，關于m的函數y₁=nx+am與y₂=x²+a（n-2m）x+m²-mn的圖象交于點A、B（點A在點B的左側），平行于y軸的直線L與y₁、y₂的圖象分別交于點C、D．當L沿AB由點A平移到點B時，求線段CD的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接運用判別式進行判斷；
（2）由已知得n=m-1，代入方程，將方程左邊因式分解求x的值即可；
（3）由（2）可知a=m，n=m-1，把x=2代入y₁、y₂中，得y₁=y₂，列方程求m、n的值，再分別求拋物線解析式及直線AB解析式，設平行于y軸的直線L解析式為x=h，代入直線AB和拋物線解析式，求C、D兩點縱坐標，表示線段CD，利用二次函數的性質求最大值．

解答：（1）證明：∵方程①的判別式△=（n-2m）²-4（m²-mn）=n²≥0，
∴方程①有兩個實數根；

（2）證明：由已知得n=m-1，代入方程①，得
x²-（m+1）x+m²-m（m-1）=0，
整理，得x²-（m+1）x+m=0，即（x-1）（x-m）=0，
解得x₁=1，x₂=m，即方程①有一個實數根為1；

（3）解：設平行于y軸的直線L解析式為x=h，
由（2）可知a=m，n=m-1，把x=2代入y₁、y₂中，得y₁=y₂，
即2（m-1）+m²=4-2m（m+1）+m²-m（m-1），
整理，得m²+m-2=0，解得m=-2或1，n=-3或0，
①當m=-2，n=-3時，y₁=-3x+4，y₂=x²-2x-2，聯立

y=-3x+4 y=x2-2x-2

，解得

x=-3 y=13

或

x=2 y=-2

，
∴A（-3，13），B（2，-2），直線AB：y=-3x+4，
∴CD=（-3h+4）-（h²-2h-2）=-h²-h+6，CD最大值為

4×(-1)×6-(-1)2

4×(-1)

=

25

4

；
②當m=1，n=0時，y₁=1，y₂=x²-2x+1，此時拋物線頂點在x軸上，顯然CD最大值為1．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，根的判別式．關鍵是由已知條件，將方程、函數式變形求m、n的值，再表示函數式及線段CD．