Question

在平面直角坐標系中，拋物線經過兩點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為，將直線沿軸向下平移兩個單位得到直線，直線與拋物線的對稱軸交于點，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，求到直線距離相等的點的坐標．

Answer 1

解：（1）根據題意得解得

所以拋物線的解析式為。

（2）由得拋物線的頂點坐標為。

依題意，可得，且直線過原點。

設直線的解析式為。

則，解得。

所以直線的解析式為。

（3）到直線距離相等的點有四個。

如圖，由勾股定理得，所以為等邊三角形。

易證軸所在直線平分，軸是的一個外角的平分線。

作的平分線，交軸于點，交軸于點，作的相鄰外角的平分線，交軸于點，反向延長交軸于點。

可得點就是到直線OB，OC，BC距離相等的點。

可證，，均為等邊三角形。

可求得：

①，所以點M₁的坐標為。

②點M₂與點A重合，所以點M₂的坐標為（0，2）。

③點M₃與點A關于x軸對稱，所以點M₃的坐標為（0，-2）。

④設拋物線的對稱軸與x軸的交點為N。

，且ON=M₄N，所以點M₄的坐標為。

綜上所述，到直線OB，OC，BC距離相等的點的坐標分別為，M₂（0，2），，。