Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，A在y軸上，AB平行于x軸，且AB=4，C點的坐標是（8，0），一拋物線y=ax²+bx+4經過點A，B，C，交x軸于點D，直線EF為該拋物線的對稱軸．
（1）①求a，b的值；
②對稱軸EF為直線x=______．
（2）判斷四邊形ABCD的形狀（不需說明理由），并計算它的面積．

Answer 1

解：（1）①∵拋物線y=ax²+bx+4，當x=0，y=4，
∴拋物線與y軸交點A的坐標為：（0，4），
∵A在y軸上，AB平行于x軸，且AB=4，
∴B點的坐標是（4，4），
∵C點的坐標是（8，0），
將B，C點代入解析式得：
∴，
解得：，
②∵點坐標A為：（0，4），B點的坐標是（4，4），
∴圖象對稱軸是直線x=-=2，
故答案為：2．　　

（2）四邊形ABCD為等腰梯形，
∵y=-x²+x+4，
∴圖象與x軸一個交點坐標為：（8，0），對稱軸是直線x=-=2，
∴圖象與x軸另一個交點坐標為：（-4，0），
∴DC=8+4=12，
S_梯形=（AB+DC）×4=×16×4=32．
分析：（1）①利用拋物線y=ax²+bx+4，當x=0，y=4，得出拋物線與y軸交點A的坐標為：（0，4），進而求出B點坐標，利用待定系數法求出a，b的值即可；
②利用A，B兩點的坐標，由二次函數的對稱性得出對稱軸即可；
（2）利用B，D，C，A的坐標即可得出AD，BC的長度，即可得出四邊形ABCD的形狀，再利用梯形面積公式求出即可．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及和待定系數法求二次函數解析式、梯形的面積求法，根據已知得出A，B，D三點的坐標是解題關鍵．