Question

（1）觀察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…
由此可以推測：

1

56

=

1

7×8

=

1

7

-

1

8

，

1

72

=

1

8×9

=

1

8

-

1

9

．
（2）用含字母n（n為正整數）的等式表示（1）中的一般規律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）請用（2）中的規律計算：

1

(a+1)(a+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+

1

(a+3)(a+4)

．

Answer 1

分析：（1）將56變形為7×8，根據上述的規律將

1

56

變形為

1

7

與

1

8

的差；將72變為8×9，同理得到結果；
（2）根據（1）總結得到的規律，用含n的等式表示即可；
（3）由（2）總結得到的規律將原式的各項化簡，抵消合并后，通分并利用同分母分式的減法法則計算，即可得到原式的值．

解答：解：（1）

1

56

=

1

7×8

=

1

7

-

1

8

；

1

72

=

1

8×9

=

1

8

-

1

9

；
（2）用含字母n（n為正整數）的等式表示（1）中的一般規律為：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）由（2）中的規律化簡得：

1

(a+1)(a+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+

1

(a+3)(a+4)

=

1

a+1

-

1

a+2

+

1

a+2

-

1

a+3

+

1

a+3

-

1

a+4

=

1

a+1

-

1

a+4

=

3

(a+1)(a+4)

．
故答案為：（1）

1

7×8

=

1

7

-

1

8

；

1

8×9

=

1

8

-

1

9

；（2）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

點評：此題考查了分式的混合運算，屬于規律型題，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時若分式分子分母中出現多項式，應先將多項式分解因式后再約分．根據題意找出一般性規律是解本題的關鍵．