Question

【題目】實踐探究題

(1)觀察下列有規律的數：，，，，，…根據規律可知

①第10個數是________; 是第________個數．

②計算________．（直接寫出答案即可）

(2)是不為1的有理數，我們把稱為的差倒數．如：2的差倒數是，的差倒數是．已知，是的差倒數，是的差倒數，是的差倒數，…，依此類推，是的差倒數，則 ________．

(3)高斯函數[x]，也稱為取整函數，即[x]表示不超過x的最大整數．

例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.則下列結論：①[－2.1]＋[1]＝－2； ②[x]＋[－x]＝0；③ [2.5]＋[－2.5]＝－1； ④[x＋1]＋[－x＋1]的值為2.其中正確的結論有__________ (填序號)．

Answer 1

【答案】（1）①；17；②；（2）4；（3）①③

【解析】

（1）①以上分子均為1，分母是序數與序數加1的乘積，據此可得；由規律可知第n個數為，列方程求解可得；

②列項相消求解可得．

（2）根據差倒數定義，經過計算，尋找差倒數出現的規律，依據規律答題即可.

（3）根據[x]表示不超過x的最大整數，即可解答．

解：（1）①∵第1個數

第2個數

第3個數

…
∴第10個數為；

由上可知第n個數為，

∴=

∴n（n+1）=306，
解得n=17或n=-18（不合題意，舍去），

∴是第17個數，
故答案為：17；

②∵，

∴原式=.

（2）根據差倒數定義可得：

可知3個數為一循環，
∴2019÷3余數為0，
∴則a2019=a3=4，
故答案為4．

（3）①[-2.1]+[1]=-3+1=-2，故①正確；
②[x]+[-x]=0，錯誤，例如：[2.5]=2，[-2.5]=-3，2+（-3）≠0；
③[2.5]+[-2.5]= 2+（-3）=-1，故③正確；
④當x=-0.5時，[x+1]=0，[-x+1]=1，
∴[x+1]+[-x+1]=1，

所以[x+1]+[-x+1]= 2錯誤．
故答案為：①③．