Question

（本題12分）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位于坐標原點O (如圖)，△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉．

【小題1】(1)　當點B在第一象限，縱坐標是時，求點B的橫坐標；
【小題2】(2)　如果拋物線的對稱軸經過點C，請你探究：
①當，，時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；
②設，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】(1)　 ∵　點O是AB的中點，　∴　．        （1分）
設點B的橫坐標是x(x>0)，則，                          （2分）
解得　，(舍去)．
∴　點B的橫坐標是
【小題2】(2)　①　當，，時，得　(＊)　
．                                            （5分）
以下分兩種情況討論．
情況1：設點C在第一象限(如圖甲)，則點C的橫坐標為，
．             （6分）
由此，可求得點C的坐標為(，)，    （7分）
點A的坐標為(，)，
∵　A，B兩點關于原點對稱，
∴　點B的坐標為 (，)．
將點A的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點A的縱坐標；
將點B的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點B的縱坐標．
∴　在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上．                       　 （9分）
情況2：設點C在第四象限(如圖乙)，則點C的坐標為(，-)，
點A的坐標為(，)，點B的坐標為
(，)．
經計算，A，B兩點都不在這條拋物線上．    （10分）
②　存在．m的值是1或-1．                                      　 （12分）
(，因為這條拋物線的對稱軸經過點C，所以-1≤m≤1．當m=±1時，點C在x軸上，此時A，B兩點都在y軸上．因此當m=±1時，A，B兩點不可能同時在這條拋物線上)

解析