Question

（2013•吉安模擬）已知拋物線y=ax²+bx+3與y軸的交點為A，點A與點B關于拋物線的對稱軸對稱，二次函數y=ax²+bx+3的y與x的部分對應值如下表：

x	…	-1	0	1	3	4	…
y	…	8		0	0		…

（1）拋物線的對稱軸是

直線x=2

．點A（

0

，

3

），B（

4

，

3

）；
（2）求二次函數y=ax²+bx+3的解析式；
（3）已知點M（m，n）在拋物線y=ax²+bx+3上，設△BAM的面積為S，求S與m的函數關系式、畫出函數圖象．并利用函數圖象說明S是否存在最大值，為什么？

Answer 1

分析：（1）利用當x=1和3時，y=0，得出拋物線的對稱軸是直線x=2，再利用x=0時，y=3，則點A（ 0，3 ），即可得出B點坐標；
（2）根據圖象過（1，0），（3，0）則設拋物線為y=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入可得出a的值，進而得出解析式；
（3）當0＜m＜4時，點M到AB的距離為3-n，當m＜0或m＞4時，點M到直線AB的距離為n-3，利用三角形面積得出S與m的函數關系式，利用圖象得出S是否存在最大值．

解答：解：（1）根據當x=1和3時，y=0，得出拋物線的對稱軸是：直線x=2，
∵拋物線y=ax²+bx+3與y軸的交點為A，
∴x=0時，y=3，則點A（ 0，3 ），故B（4，3 ）；

（2）圖象過（1，0），（3，0），
設拋物線為y=a（x-1）（x-3），
把（0，3）代入可得：3=a（0-1）（0-3），
解得：a=1，
故二次函數y=ax²+bx+3的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（3）如圖1，∵AB∥x軸，AB=4，
當0＜m＜4時，點M到AB的距離為3-n，
∴S_△ADM=

1

2

（3-n）×4=6-2n，
又∵n=m²-4m+3，S₁=-2m²+8m，
∴當m＜0或m＞4時，點M到直線AB的距離為n-3，S₂=

1

2

×4（n-3）=2n-6，
而 n=m²-4m+3，S₂=2m²-8m，
S=

-2m2+8m (0＜m＜4) 2m2-8m  (m＜0或m＞4)

，
故函數圖象如圖2（x軸上方部分）所示，S不存在最大值，從圖象可知：當m＜0或m＞4時，S的值可以無限大．

點評：此題主要考查了二次函數的對稱性以及利用交點式求函數解析式和三角形面積求法等知識，利用數形結合得出函數值的情況是解題關鍵．