Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知是等邊三角形，點的坐標是(0，4)，點在第一象限，點是軸上的一個動點，連接，并把繞點按逆時針方向旋轉，使邊與重合．連接，，得．

(1)當時，求的長；

(2)在點運動過程中，依照條件所形成的面積為．

①當時，求與之間的函數關系式；

②當t≤0時，要使，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)DP=；(2)①；②P(，0)，P(，0)，P(，0).

【解析】

（1）由△ABD由△AOP旋轉得到，利用旋轉的性質得到兩三角形全等，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等得到AP=AD，∠DAB=∠PAO，進而得到三角形ADP為等邊三角形，根據A點坐標及t的值利用勾股定理求出AP的長即可得答案；（2）①過點，分別作軸的垂線，垂足為，過點作軸的平行線，分別交軸于點，交于點，由等邊三角形的性質可得，根據∠ABD=90°可求出∠DBG=60°，利用∠DBG的正弦函數可求出DG的長，即可得DH的長，利用三角形面積公式即可得答案；②分兩種情況：當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時．即＜t≤0時，方法同①類似，也是在直角三角形DBG用BD的長表示出BG，進而求出GF的長，然后利用面積公式列方程求出t值即可；當P在x軸負半軸；D在x軸下方時，即t≤時，過B作BE⊥y軸，過D作DH⊥x軸，交BE延長線于G，在Rt△BDG中，用BD的長表示出DG，進而得出DH的長，根據面積公式列方程求出t值即可，綜上即可得答案.

(1)∵，

∴，

∵，

∴，

∵是由旋轉得到，

∴≌，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴；

(2)①當時，如圖，，

過點，分別作軸的垂線，垂足為，過點作軸的平行線，分別交軸于點，交于點，

∵為等邊三角形，軸，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

②如圖，當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時．即＜t≤0時，過點，分別作軸的垂線，垂足為，過點作軸的平行線，分別交軸于點，過D作DG⊥BF，交BF于點，

∵∠ABE=30°，∠ABD=90°，BF⊥BE，

∴∠DBG=30°，

∵BD=OP=-t，

∴BG=BDcos30°=-t，

∵BF=OE=2，

∴DH=GF=BF-BG=2+t，

∴S= OPDH=×（-t）×(2+t)=，

解得：t1=，t2=，

∴P點坐標為（，0）或（，0）.

當D在x軸下方時，即t≤時，過B作BE⊥y軸，過D作DH⊥x軸，交BE延長線于G，

∵∠ABE=30°，∠ABD=90°，DG⊥BG，

∴∠BDG=30°，

∵BD=OP=-t,

∴DG=BDcos30°=-t，

∵GH=OE=2，

∴DH=DG-GH=-t-2，

∴S= OPDH=×（-t）×(-t-2)=，

解得：t1=，t2=(舍去)，

∴P點坐標為（，0）.

綜上所述：符合條件的點的坐標為（，0）或（，0）或（，0）.