Question

已知拋物線y=x²-2（a+b）x+c²，其中a，b，c分別是三角形ABD的三邊．
①求證：該拋物線與x軸必有兩個交點；
②如圖，設直線與拋物線交于E、F，與y軸交于點M，拋物線與y軸交于點N，若拋物線對稱軸為直線x=2a，△MNE與△MNF面積之比為2：1，求證：△ABC為等腰直角三角形；
③在②的條件下，當S_△ABC=2時，設拋物線與x軸交于P、Q，問：是否存在過P、Q兩點，且與Y軸相切的圓？若存在，求圓心的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

①證明：△=b²-4ac=[-2（a+b）]²-4×1×c²=4[（a+b）²-c²]，
∵a+b＞c（三角形任意兩邊之和大于第三邊），
∴△＞0，
∴拋物線與x軸必有兩個交點；

②證明：拋物線對稱軸為直線x=-=-=2a，
解得a=b，
∴△ABC為等腰三角形，
直線與拋物線解析式聯立得，，
即x²-2（a+b）x+c²=2ax-3ac，
整理得，x²-6ax+c²+3ac=0，
∵△MNE與△MNF面積之比為2：1，
∴點E到MN的距離等于點F到MN的距離的2倍，
即點E的橫坐標是點F的橫坐標的2倍，
設點F的橫坐標是x，則點E的橫坐標是2x，
∴x+2x=6a，
解得x=2a，2x=4a，
∴x•2x=2a•4a=c²+3ac，
整理得c²+3ac-8a²=0，
解得c=a，c=-4a（舍去），
∴a²+b²=2a²=c²，
∴△ABC為直角三角形，
故△ABC為等腰直角三角形；

③解：存在．
理由如下：S_△ABC=×a×b=×a×a=2，
∴a=b=2，
∴c=a=2，
∴拋物線解析式為y=x²-2（a+b）x+c²=x²-8x+8，
∴PQ===4，
∵圓與y軸相切，
∴半徑r=2a=2×2=4，
∴弦心距==2，
∴存在過P、Q兩點，且與y軸相切的圓，圓心（4，2）或（4，-2）．
分析：①列式求出根的判別式，再根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出△＞0，即可判斷與x軸有兩個交點；
②先根據拋物線對稱軸公式求出a=b，再根據△MNE與△MNF面積之比為2：1，可以求出點E的橫坐標是點F的橫坐標的2倍，直線與拋物線解析式聯立得到關于x的方程，即方程的一個解是另一個解的2倍，從而求出方程的兩個根，再根據根與系數的關系中的兩根之積列式求出a與c的關系，然后根據勾股定理逆定理即可證明；
③根據三角形的面積求出a、b的長度，然后求出c的長度，從而得到拋物線解析式，然后求出PQ的長度，再根據圓與y軸相切求出圓的半徑，然后根據圓的半徑、弦的一半，利用勾股定理求出弦心距即可得到圓心的坐標．
點評：本題是二次函數綜合題，考查了利用根的判別式求拋物線與x軸的交點個數，聯立直線與拋物線解析式求函數圖象的交點坐標之間的關系，函數圖象上兩點間的距離的求解，半徑、弦心距、半弦長組成的三角形的計算，綜合性較強，對同學們能力要求較高，仔細分析，認真計算也不難求解．