Question

如圖，一次函數y=k₁x+b的圖象經過A（0，﹣2），B（1，0）兩點，與反比例函數的圖象在第一象限內的交點為M，若△OBM的面積為2．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；
（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥MP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）  （2）在x軸上存在點P，點P的坐標為（11，0）

試題分析：（1）根據一次函數y=k₁x+b的圖象經過A（0，﹣2），B（1，0）可得到關于b、k₁的方程組，進而可得到一次函數的解析式，設M（m，n）作MD⊥x軸于點D，由△OBM的面積為2可求出n的值，將M（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在雙曲線上即可求出k₂的值，進而求出其反比例函數的解析式；
（2）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由銳角三角函數的定義可得出OP的值，進而可得出結論．
解：（1）∵直線y=k₁x+b過A（0，﹣2），B（1，0）兩點
∴，
∴
∴已知函數的表達式為y=2x﹣2．（3分）
∴設M（m，n），作MD⊥x軸于點D
∵S_△OBM=2，
∴，
∴
∴n=4（5分）
∴將M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，
∴m=3
∵M（3，4）在雙曲線上，
∴，
∴k₂=12
∴反比例函數的表達式為
（2）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，

∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x軸上存在點P，使PM⊥AM，此時點P的坐標為（11，0）（10分）
點評：本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，涉及到的知識點為用待定系數法求一次函數與反比例函數的解析式、銳角三角函數的定義，熟知以上知識是解答此題的關鍵．