Question

【題目】如圖，在四邊形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC,DE⊥AC，垂足為 E.連接 BE

（1）求證：在四邊形 ABCD 是平行四邊形

（2）若△ABE 是等邊三角形，四邊形 BCDE 的面積等于 4，求 AE 的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】（1）可利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形進行證明；

（2）利用同底等高說明△CED與△CEB的面積關系，再根據四邊形的面積得到△CED的面積，求出邊長CD，即可得出結論．

（1）∵AB∥CD，∴∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD=180°．

∵∠ABC=∠ADC，∴∠DAB=∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．

∵△ABE是等邊三角形，∴AB=AE=CD，∠BAC=∠ACD=60°．在Rt△CDE中，設CD的長為a，則CE=a，DE=，S△CED=．

因為△CED與△CEB是同底等高的三角形，∴S△CED=S△CEB．又∵S四邊形BCDE=S△CED+S△CEB=4，∴S△CED=．即=．

所以a=4．即AE= CD=4．