Question

如圖，已知正方形OABC在直角坐標系xOy中，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點O在坐標原點．等腰直角三角板OEF的直角頂點O在原點，E、F分別在OA、OC上，且OA=4，OE=2．將三角板OEF繞O點逆時針旋轉至OE₁F₁的位置，連接CF₁、AE₁．
（1）求證：△OAE₁≌△OCF₁；
（2）若三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，請求出此時E點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：
∵四邊形OABC為正方形，∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE₁=OF₁．
又三角板OEF繞O點逆時針旋轉至OE₁F₁的位置時，∠AOE₁=∠COF₁，
∴△OAE₁≌△OCF₁． （3分）

（2）存在． （4分）
∵OE⊥OF，
∴過點F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，
當三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周時，
則點F在以O為圓心，以OF為半徑的圓上． （5分）
∴過點F與OF垂直的直線必是圓O的切線．
又點C是圓O外一點，過點C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設為CF₁和CF₂，
此時，E點分別在E₁點和E₂點，滿足CF₁∥OE₁，CF₂∥OE₂． （7分）
當切點F₁在第二象限時，點E₁在第一象限．
在直角三角形CF₁O中，OC=4，OF₁=2，
cos∠COF₁=

OF1

OC

=

1

2

，
∴∠COF₁=60°，∴∠AOE₁=60°．
∴點E₁的橫坐標為：x_E1=2cos60°=1，
點E₁的縱坐標為：y_E1=2sin60°=

3

，
∴點E₁的坐標為（1，

3

）；（9分）
當切點F₂在第一象限時，點E₂在第四象限．
同理可求：點E₂的坐標為（1，-

3

）．（10分）
綜上所述，三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周，存在兩個位置，使得OE∥CF，
此時點E的坐標為E₁（1，

3

）或E₂（1，-

3

）．（11分）