Question

如圖，已知直線y=-x+b與雙曲線在第一象限內的一支相交于點A、B，與坐標軸交于點C、D，P是雙曲線上一點，PO=PD．
（1）試用k、b表示點P的坐標；
（2）若△POD的面積等于1，
①求雙曲線在第一象限內的解析式；
②已知點A的縱坐標和點B的橫坐標都是2，求△OAB的面積．

Answer 1

（1）在直線y=-x+b中，令y=0，則x=b，即點D（b，0）．
∵PO=PD，
∴根據等腰三角形的三線合一，得點P的橫坐標是．
∵點P在雙曲線上，
∴y==，
則點P（，）；

（2）①∵△POD的面積等于1，
∴點P的橫坐標和縱坐標的乘積是1，
則雙曲線在第一象限內的解析式是y=（x＞0）；
②由①中的解析式和點B的橫坐標是2，則點B的縱坐標是．
則點B（2，）．
把點B代入y=-x+b，得b=．
則直線的解析式是y=-x+．
令y=0，則x=，即點D（，0）．
則△OAB的面積是×2×-××=．
分析：（1）根據直線的解析式求得點D的坐標，再根據等腰三角形的性質即可求得點P的橫坐標，進而根據雙曲線的解析式求得點P的縱坐標；
（2）①要求雙曲線的解析式，只需求得xy值，顯然根據△POD的面積等于1，即可求解；
②由①中的解析式可以進一步求得點B的縱坐標，從而求得直線的解析式，然后求得點B的坐標，即可計算△OAB的面積．
點評：此題綜合考查了待定系數法求函數解析式的方法、求直線與坐標軸的交點的方法、等腰三角形的性質以及運用割補法求三角形的面積的方法．