Question

已知，如圖，在直角坐標系內，△ABC的頂點在坐標軸上，關于x的方程x²-4x+m²-2m+5=0有實數根，并且AB、AC的長分別是方程兩根的5倍．
（1）求AB、AC的長；
（2）若tan∠ACO=

4

3

，P是AB的中點，求過C、P兩點的直線解析式；
（3）在（2）問的條件下，坐標平面內是否存在點M，使以點O、M、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）原方程轉化為兩個完全平方式的和，從而求出方程兩根，進一步求出AB、AC的長；
（2）根據三角函數先求出C、P兩點的坐標，再用待定系數法求出C、P兩點的直線解析式；
（3）點M的坐標有四個．

解答：解：（1）方法一：
∵x²-4x+m²-2m+5=0，
（x-2）²+（m-1）²=0
∴x=2，m=1，
x²-4x+4=0，
x₁=x₂=2
AB=AC=10
方法二：
∵方程有實數根
∴△=-（m-1）²≥0
∴（m-1）²≤0而（m-1）²≥0
∴m=1
∴x₁=x₂=2
∴AB=AC=10

（2）∵AC=10，tan∠ACO=

4

3

，
∴OA=8，OC=6，
∴點C（6，0），B（-6，0），A（0，8），
∵P是AB的中點，
∴P（-3，4），
設y=kx+b，
∴

6k+b=0 -3k+b=4

，
解得：

k=- 4 9 b= 8 3

，
∴y_CP=-

4

9

x+

8

3

（3）M₁（3，4），M₂（9，-4），M₃（-9，4）．

點評：此題難度較大，綜合考查函數、方程等知識，有利于培養同學們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質．