Question

如圖，△ABC中，AB=20，BC=21，AC=13，如果動點D以每秒2個單位長的速度從點B出發沿射線BA方向運動，當運動到12秒時停止，直線DE∥BC，E為直線DE與直線CA的交點，若點D運動時間設為t秒．
（1）求當點D在線段AB上時線段DE的長度（用含t的代表式表示）；
（2）求出△DEC的面積S與時間t的函數關系式；
（3）S是否有最大值？若有，請求出最大值和相應t的值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據DE∥BC推出△ADE∽△ABC，得出

DE

21

=

20-2t

20

，求出即可；
（2）分為三種情況：①當0＜t＜10時，如圖1，過點D作DM⊥BC于點M，作AN⊥BC于點N，由勾股定理求出BN=16，AN=12，推出△BDM∽△BAN，得出比例式，求出DM=

6

5

t，根據S=

1

2

×DE×DM，代入求出S=-

63

50

t²+

63

5

t；②當10＜t≤12時，根據△BAN∽△BDM得出比例式，代入求出DM=

6

5

t，根據△DEA∽△BAC汽車DE=

21

10

t-21，求出S=

63

50

t²-

63

5

t；③當D與A重合時，2t=20，求出t=10，S=S_△ABC；
（3）求出三種情況的最大值即可．

解答：解：（1）根據題意得：BD=2t，
當點D在線段AB上時，AD=AB-BD=20-2t，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

，
即

DE

21

=

20-2t

20

，
解得：DE=21-

21

10

t；

（2）①當0＜t＜10時，如圖1，過點D作DM⊥BC于點M，作AN⊥BC于點N，
由勾股定理得：AN²=20²-BN²=13²-（21-BN）²，
BN=16，AN=12，
∴DM∥AN，
∴△BDM∽△BAN，
∴

BD

AB

=

DM

AN

，即

2t

20

=

DM

12

，
DM=

6

5

t，
S=

1

2

×DE×DM=

1

2

•（21-

21

10

t）•

6

5

t
S=-

63

50

t²+

63

5

t；
②當10＜t≤12時，如圖2，
∵AN∥DM，
∴△BAN∽△BDM，
∴

BD

AB

=

DM

AN

，即

2t

20

=

DM

12

，
DM=

6

5

t，
∵DE∥BC，
∴△DEA∽△BAC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

，

DE

21

2t-20

20

，
DE=

21

10

t-21，
S=

1

2

×DE×DM=

1

2

•（

21

10

t-21）•

6

5

t
S=

63

50

t²-

63

5

t；
③當D與A重合時，2t=20，
解得：t=10，
S=S_△ABC=

1

2

×BC×AN=

1

2

×21×12=126；
即S=

- 63 50 t2+ 63 5 t(0＜t＜10) 63 50 t2- 63 5 t(10＜t≤12) 126(t=10)

；

（3）S有最大值，
理由是：①當0＜t＜10時，S=-

63

50

t²+

63

5

t=-

63

50

（t-5）²+31.5；
當t=5時，此時S的最大值是31.5，
②當10＜t≤時，
S=

63

50

t²-

63

5

t=

63

50

（t-5）²-31.5，
拋物線的開口向上，在對稱軸的右側，s隨t的增大，當t取12時，S最大，最大值是30.24
③當D與A重合時，2t=20，
解得：t=10，
S=S_△ABC=

1

2

×BC×AN=

1

2

×21×12=126；
綜合上述，當t=10時，S最大，最大值是126．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，二次函數的解析式，二次函數的最值，三角形的面積等知識點的綜合運用，題目難度偏大．