Question

11．設f（x）是關于x的多項式，f（x）除以2（x-1），余式是3；2f（x）除以3（x+2），余式是-4，求3f（x）除以4（x²+x-2）的余式．

Answer 1

分析 根據“f（x）除以2（x-1），余式是3；2f（x）除以3（x+2），余式是-4”，可得出f（x）=2（x-1）P（x）+3①、2f（x）=3（x+2）Q（x）-4②，根據②式可得出f（-2）=-2，將其代入①中可得出6P（x）=（x+2）R（x）+5③，將①式的兩邊同時乘3即可得出3f（x）=（x-1）（x+2）R（x）+（5x+4），再在兩邊同時除以4（x-1）（x+2）即可得出：$\frac{3f（x）}{4（{x}^{2}+x-2）}$=$\frac{R（x）}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$，由此即可得出結論．

解答 解：∵f（x）除以2（x-1），余式是3，
∴必有f（x）=2（x-1）P（x）+3①（P（x）為關于x的多項式），
同理：必有2f（x）=3（x+2）Q（x）-4②（Q（x）為關于x的多項式）．
由②可知，當x=-2時，2f（-2）=-4，
∴f（-2）=-2．
∴f（-2）=2×（-2-1）P（-2）+3=-2，
∴6P（-2）=5，即6P（x）除以（x+2），余5，
∴6P（x）=（x+2）R（x）+5③（R（x）為關于x的多項式）．
由①可知，3f（x）=6（x-1）P（x）+9，
∴3f（x）=（x-1）[（x+2）R（x）+5]+9=（x-1）（x+2）R（x）+5（x-1）+9=（x-1）（x+2）R（x）+（5x+4）．
在3f（x）=（x-1）（x+2）R（x）+（5x+4）兩邊同時除以4（x-1）（x+2）可得：$\frac{3f（x）}{4（{x}^{2}+x-2）}$=$\frac{R（x）}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$，
故3f（x）除以4（x²+x-2）的余式為$\frac{5x+4}{4}$．

點評 本題考查的整式的除法，解題的關鍵是根據整式的除法找出$\frac{3f（x）}{4（{x}^{2}+x-2）}$=$\frac{R（x）}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$．