Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD于點E，BF∥OC，連接BC和CF，CF交AB于點G．

（1）求證：∠OCF＝∠BCD；

（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O半徑的長為．

【解析】

（1）利用垂徑定理得到，再根據圓周角定理得到∠BCD=∠BFC，接著根據平行線的性質得∠OCF=∠BFC，從而得到∠OCF=∠BCD；

（2）用垂徑定理得到CE=CD=2，再利用tan∠OCF=tan∠BCD=＝得到BE=1，設OC=OB=x，則OE=x-1，在Rt△OCE中利用勾股定理得到x2=（x-1）2+22，然后解方程即可．

（1）證明：∵AB是直徑，AB⊥CD，

∴，

∴∠BCD＝∠BFC，

∵BF∥OC，

∴∠OCF＝∠BFC，

∴∠OCF＝∠BCD；

（2）∵AB⊥CD，

∴CE＝CD＝2，

∵∠OCF＝∠BCD

∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝＝，

∵CE＝2

∴BE＝1，

設OC＝OB＝x，則OE＝x﹣1，

在Rt△OCE中，∵x2＝（x﹣1）2+22，解得x＝，

即⊙O半徑的長為．