Question

如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=5，DE=2，BD=12，設CD=x．
（1）用含x的代數式表示AC+CE的長；
（2）請問點C在BD上什么位置時，AC+CE的值最�。�
（3）根據（2）中的規律和結論，請構圖求出代數式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最��；
（3）由（1）（2）的結果可作BD=24，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，連接AE交BD于點C，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值就是代數式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．

解答：解：（1）

(12-x) 2+25

+

x2+4

；

（2）當點C是AE和BD交點時，AC+CE的值最�。�
∵AB∥ED，AB=5，DE=2，
∴

BC

CD

=

AB

DE

=

5

2

，
又∵BC+CD=BD=12，
則BC=

5

2

CD，CD=

2

5

BC，
∴CD+

5

2

CD=12，
解得：CD=

24

7

．
BC+

2

5

BC=12，
解得：BC=

60

7

，CD=

24

7

．
故點C在BD上距離點B的距離為

60

7

時，AC+CE的值最�。�

（3）如右圖所示，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，
DB=24，連接AE交BD于點C，
∵AE=AC+CE=

x2+9

+

(24-x)2+16

，
∴AE的長即為代數式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．
過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，
則AB=DF=4，AF=BD=24．
所以AE=

AF2+EF2

=

242+(5+2) 2

=25，
即AE的最小值是25．
即代數式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值為25．

點評：本題主要考查最短路線問題，利用了數形結合的思想，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解．