Question

【題目】如圖，點是直徑上的一點，過作直線，分別交于，兩點，連接，并將線段繞點逆時針旋轉得到，連接，分別交和于，，連接．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若點在直徑上運動（不與點，重合），其它條件不變，請問是否為定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）是定值，理由見解析；

【解析】

（Ⅰ）連接AD，由同弧所對的圓周角相等可知∠ACF＝∠ADF，由旋轉的性質可知AC＝AE，利用垂徑定理證得AD＝AC，推出AE＝AD，∠AED＝∠ADF，即可推出結論；

（Ⅱ）過點E作EN∥CD，過點D作DN⊥CD，且EN與直線AB交于點M，與直線DN交于點N，先證四邊形MNDP是矩形，△EAM≌△ACP，推出MN＝PD，MP＝ND，EM＝AP，AM＝CP，再證明△END為等腰直角三角形，推出△EMG為等腰直角三角形，即可通過銳角三角函數推出結論．

解：（Ⅰ）連接，由同弧所對的圓周角相等可知∠ACF＝∠ADF，

∵AE是由線段AC繞點A逆時針旋轉90°得到，

∴AC＝AE，

∵CD⊥AB，

∴AB垂直平分CD，

∴AC＝AD，

∴AE＝AD，

∴∠AED＝∠ADF，

∴∠ACF＝∠AED；

（Ⅱ）是定值，

理由：過點E作EN∥CD，過點D作DN⊥CD，且EN與直線AB交于點M，與直線DN交于點N，

∵∠EAC＝∠CPA＝90°，

∴∠EAM＋∠CAB＝∠CAB＋∠ACP＝90°，

∴∠EAM＝∠ACP，

∵DN⊥CD，CD⊥AB，

∴DN∥AB，

又∵EN∥CD，

∴四邊形MNDP是矩形，

∴∠AME＝∠APC＝90°，

∵AC＝AE，∠EAM＝∠ACP，∠AME＝∠APC，

∴△EAM≌△ACP，

∴EM＝AP，AM＝CP，

∵四邊形MNDP是矩形，

∴MN＝PD，MP＝ND，

∵AB是直徑，CD⊥AB，

∴MN＝PD＝CP＝AM，

又∵EM＝AP，

∴EM＋MN＝AP＋AM，即EN＝MP＝ND，

∴△END是等腰直角三角形，

∴∠EDN＝45°，

∵DN∥AB，

∴∠EGM＝∠EDN＝45°，

∴△EMG是等腰直角三角形，

∴，

∴.