Question

如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，動點P從點A出發沿AB邊由A向B以1cm/秒的速度勻速移動（點P不與點A、B重合），動點Q從點B出發沿折線BC-CD以2cm/秒的速度勻速移動．點P、Q同時出發，當點P停止時，點Q也隨之停止．連接AQ，交BD于點E．設點P運動時間為x秒．
（1）當點Q在線段BC上運動時，點P出發多少時間后，∠BEP=∠BEQ？
（2）設△APE的面積為ycm²，AP=xcm，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域．
（3）當4＜x＜8時，求函數值y的范圍．

Answer 1

解（1）如圖1，AP=xcm，BQ=2xcm，
當∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，
∵，
∴△PEB≌△QEB（ASA），
∴PB=BQ，即8-x=2x，
解得：x=，
∴出發秒后，∠BEP=∠BEQ；

（2）當0＜x≤4時，如圖2，Q在BC上，過E作EN⊥AB，EM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△QEB，
∴===，
∴=，
∴，
=，
∴NE=2x•=，
∴S_△APE=AP•EN=x•=，
即y=（0＜x≤4），
當4＜x＜8，Q在CD上，作QF⊥AB于F，交BD于H （如圖3）
DQ=HQ=16-2x，
∵AD∥FQ，
∴△ADE∽QHE，
∴===，
∴==，
作EN⊥AB，
∵NE∥FQ，
∴△ANE∽△AFQ，
∴=，
∴NE=，
∴S_△APE=AP•EN=x•=，
即y=（4＜x＜8）；

（3）當4＜x＜8時，由y=，
得x=，
由4＜x＜8，
可得4＜＜8，
∵y＞0，
∴16+y＞0，
∴4（16+y）＜12y＜8（16+y），
16+y＜3y＜2（16+y），
即，
解得：8＜y＜32，
當4＜x＜8時，8＜y＜32．
分析：（1）根據∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，BE=BE，得出△PEB≌△QE，B即可得出PB=BQ求出即可；
（2）分別利用當0＜x≤4時，以及當4＜x＜8，Q在CD上，利用相似三角形性質得出NE的長，進而表示出△APE的面積；
（3）利用當4＜x＜8時，由y=，得x=，即可得出16+y＜3y＜2（16+y），求出即可．
點評：此題主要考查了全等三角形判定、相似三角形的判定與性質以及不等式組的解法等知識，根據已知得出△ANE∽△AFQ，△AED∽△QEB，進而得出NE的長是解題關鍵．