Question

如下圖(a)，已知直線EA與兩坐標軸軸分別交于點E、A(0，2)，過直線EA上的兩個點F、G分別作軸的垂線，垂足分別為M(m，0)、N(n，0)，其中m<0，n>0． (a) (b) (1) 如果m=－4，n=1，試計算線段AN和AM的長，并判斷△AMN的形狀 (2) 如果mn=－4，(1)中有關△AMN的形狀的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由 (3) 如圖(b)，題目中的條件不變，如果mn=－4，并且ON=4，求經過M、A、N三點的拋物線方程； (4) 在圖(b)中，如果拋物線的對稱軸與線段AN交于點P，點Q是對稱軸上一動點，以點P、Q、N為頂點的三角形和以點M、A、N為頂點的三角形相似，求符合條件的Q點坐標．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：△AMN是直角三角形 　　依題意得OA=2，OM=4，ON=1，∴MN=OM+ON=4+1=5 　　在Rt△AOM中，AM=== 　　在Rt△AON中，AN=== 　　∴MN2=AM2 +AN2 　　∴△AMN是直角三角形
(2)	答：(1)中的結論還成立 　　依題意得OA=2，OM=－m，ON=n 　　∴MN=OM+ON=n－m 　　∴MN2=(n－m)2=n2－2 mn+m2 　　∵mn=－4 　　∴MN2=n2－2×(－4)+m2=n2+m2+8 　　又∵在Rt△AOM中，AM === 　　在Rt△AON中，AN === 　　∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8 　　∴MN2 =AM2+AN2 　　∴△AMN是直角三角形
(3)	∵mn=－4，n=4 　　∴ 　　設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x–4)． 　　∵拋物線經過點A(0，2) 　　∴–4a=2 　　解得a=– 　　∴所求拋物線的解析式為y=–(x+1)(x–4) 　　即y=–x2+x+2
(4)	拋物線的對稱軸與x軸的交點Q1符合條件 　　∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ1 　　∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM 　　∵拋物線的對稱軸為x= 　　∴該點坐標為Q1(，0) 　　∴NQ1=4–= 　　過點N作NQ2⊥AN，交拋物線的對稱軸于點Q2 　　∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM兩兩相似 　　∴　　即Q1Q2 = 　　∵點Q2位于第四象限 　　∴Q2(，) 　　因此，符合條件的點有兩個，分別是Q1(，0)，Q2(，)