Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動點（且點P不與點B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點．設AM的長為x，則x的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】2.4≤x＜4

【解析】

根據勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四邊形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．

解：連接AP．

∵AB=6，AC=8，BC=10，

∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，

∴四邊形AEPF是矩形，

∴AP=EF，

∵∠BAC=90°，M為EF中點，

∴AM=EF=AP，

當AP⊥BC時，AP值最小，

此時S△BAC=×6×8=×10×AP，

AP=4.8，

即AP的范圍是AP≥4.8，

∴2AM≥4.8，

∴AM的范圍是AM≥2.4（即x≥2.4）

當P和C重合時，AM=4，

∵P和B、C不重合，

∴x＜4，

故答案為：2.4≤x＜4．