Question

如圖，點A為y軸正半軸上一點，A，B兩點關于x軸對稱，過點A任作直線交拋物線y=

2

3

x2于P，Q兩點．
（1）求證：∠ABP=∠ABQ；
（2）若點A的坐標為（0，1），且∠PBQ=60°，試求所有滿足條件的直線PQ的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線y=

2

3

x2的圖象上點的坐標特征，待定系數法球函數解析式，根與系數的關系和相似三角形的判定與性質解答即可；
（2）利用（1）中已知與結論，繼續由相似三角形，根與系數的關系、函數解析式求得結果．

解答：（1）證明：如圖，分別過點P，Q作y軸的垂線，垂足分別為C，D．
設點A的坐標為（0，t），則點B的坐標為（0，-t）．
設直線PQ的函數解析式為y=kx+t，并設P，Q的坐標分別為（x_P，y_P），（x_Q，y_Q）．由

y=kx+t y= 2 3 x2

，
得

2

3

x2-kx-t=0，
于是xPxQ=-

3

2

t，即t=-

2

3

xPxQ．
于是

BC

BD

=

yP+t

yQ+t

=

2 3 xP2+t

2 3 xQ2+t

=

2 3 xP2- 2 3 xPxQ

2 3 xQ2- 2 3 xPxQ

=

2 3 xP(xP-xQ)

2 3 xQ(xQ-xP)

=-

xP

xQ

．，
又因為

PC

QD

=-

xP

xQ

，所以

BC

BD

=

PC

QD

．
因為∠BCP=∠BDQ=90°，
所以△BCP∽△BDQ，
故∠ABP=∠ABQ；

（2）解：設PC=a，DQ=b，不妨設a≥b＞0，由（1）可知
∠ABP=∠ABQ=30°，BC=

3

a，BD=

3

b，
所以AC=

3

a-2，AD=2-

3

b．
因為PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．
于是

PC

DQ

=

AC

AD

，即

a

b

=

3 a-2

2- 3 b

，
所以a+b=

3

ab．
由（1）中xPxQ=-

3

2

t，即-ab=-

3

2

，所以ab=

3

2

，a+b=

3 3

2

，
于是可求得a=2b=

3

．
將b=

3

2

代入y=

2

3

x2，得到點Q的坐標（

3

2

，

1

2

）．
再將點Q的坐標代入y=kx+1，求得k=-

3

3

．
所以直線PQ的函數解析式為y=-

3

3

x+1．
根據對稱性知，所求直線PQ的函數解析式為y=-

3

3

x+1或y=

3

3

x+1．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質、根與系數的關系、待定系數法求函數解析式以及對稱解決問題．