Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥BC交AD于點E，連接BE，點F是BE上一點，連接CF．

（1）如圖1，若∠ECD＝30°，BC＝4，DC＝2，求tan∠CBE的值；

（2）如圖2，若BC＝EC，過點E作EM⊥CF，交CF延長線于點M，延長ME、CD相交于點G，連接BG交CM于點N且CM＝MG，

①在射線GM上是否存在一點P，使得△BCP≌△ECG？若存在，請指出點P的位置并證明這對全等三角形；若沒有，請說明理由．

②求證：EG＝2MN．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①詳見解析；②詳見解析.

【解析】

(1)由平行四邊形的性質和已知條件得出∠BCE＝∠CED＝90°，由直角三角形的性質得出DE＝CD＝1，CE＝，由三角函數定義即可得出結果；

（2）①由等腰直角三角形的性質得出∠MCG＝∠MGC＝45°，由線段垂直平分線的性質得出CP＝CG，得出∠CPM＝∠CGM＝45°，求出∠PCG＝90°，得出∠BCP＝∠ECG，由SAS證明△BCP≌△ECG即可；

②由全等三角形的性質得出BP＝EG，∠BPC＝∠EGC＝45°，得出∠BPG＝90°，證出BP∥MN，得出BN＝GN，MN是△PBG的中位線，由三角形中位線定理得出BP＝2MN，即可得出結論．

（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵CE⊥BC，

∴CE⊥AD，

∴∠BCE＝∠CED＝90°，

∵∠ECD＝30°，DC＝2，

∴DE＝CD＝1，

∴CE＝，

∴tan∠CBE＝；

（2）①解：在射線GM上存在一點P，MP＝MG時，△BCP≌△ECG；理由如下：

如圖2所示：

∵CM＝MG，

∴△CMG是等腰直角三角形，

∴∠MCG＝∠MGC＝45°，

∵MP＝MG，EM⊥CF，

∴CP＝CG，

∴∠CPM＝∠CGM＝45°，

∴∠PCG＝90°，

∴CP⊥CG，

∵∠BCE＝∠PCG＝90°，

∴∠BCP＝∠ECG，

在△BCP和△ECG中，

，

∴△BCP≌△ECG（SAS）；

②證明：由①得：△BCP≌△ECG，

∴BP＝EG，∠BPC＝∠EGC＝45°，

∴∠BPG＝90°，

∴BP∥MN，

∵PM＝GM，

∴BN＝GN，

∴MN是△PBG的中位線，

∴BP＝2MN，

∴EG＝2MN