Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC=900，AC=2BC=，點O在邊AB上，以點O為圓心，，OB的長為半徑的圓恰好與AC相切于D，與邊AB相交于點E.

(1)求證：點D為AC的中點；

(2)若點F為半圓BEF上的動點，連接BD、BF、DF，填空：

當∠BDF= 時，四邊形BCDF為菱形；

當△BDF為直角三角形時，BF= .

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）①60°；②2或1.

【解析】分析：（1）連接OD，只要證明△BCD是等邊三角形，△ABD是等腰三角形即可證得結論；

（2）①當DF⊥AB時，四邊形BCDF是菱形，因為∠BDC=60°, ∠ADF=60°,可求出∠BOF的度數；

②分別從∠BDF=90°，∠DBF=90°，∠BFD=90°去分析求解，即可求得答案．

詳解：，

，

∵BC=CD,

∴△BCD是等邊三角形，

∴BC=CD=BD.

如圖，連接，

，

，

,

∴∠OBD=∠ODB=30°,

∴∠OBD=∠A,

∴BD=AD,

∴CD=AD,

即點D為AC的中點；

（2）①當DF⊥AB時，四邊形BCDF是菱形；

如圖，設DF交AB于點M，則DF=2DM，

∵∠A=30°，

∴AD=2DM，

∴DF=AD=BC，

∵∠ABC=90°，

∴DF∥BC，

∴四邊形BCDF是平行四邊形，

∵BC=CD，

∴四邊形BCDF是菱形；

∵∠A=30°，

∴∠ADM=90°-30°=60°,

∴∠BDF=180°-60°-60°=60°，

②若∠BDF=90°，則點E與點F重合，

∵AC=2BC=，

∴BD=，

∴BF=；

若∠DBF=90°，則DF是直徑，

∴BF=;

若∠BFD=90°，

∵AD不是直徑，

∴∠AED≠90°；

綜上可得：當△BDF為直角三角形時，BF等于2或1．