Question

5、已知n為正整數，且n²-71能被7n+55整除，試求n的值．

Answer 1

分析：可設被7n+55整除后得k，得到關于n的一元二次方程，根據根的判別式是完全平方式判斷k的取值，進而判斷n的值即可．

解答：解：設被7n+55整除后得k，
∴n²-7kn-（71+55k）=0，
∵n為正整數，
∴△=49k²+220k+284是完全平方數，
而（7k+15）²＜49k²+220k+284＜（7k+17）²，
∴49k²+220k+284=（7k+16）²，
解得 k=7，
∴n²-49n-456=0，即 （n+8）（n-57）=0，
∴n=57．

點評：考查數的整除性問題；采用比較范圍的方法得到k的取值是解決本題的突破點．