【題目】在△ABC中,已知D為直線BC上一點,若∠ABC=x°,∠BAD=y°.
(1)若CD=CA=AB,請求出y與x的等量關系式;
(2)當D為邊BC上一點,并且CD=CA,x=40,y=30時,則AB AC(填“=”或“≠”);
(3)如果把(2)中的條件“CD=CA”變為“CD=AB”,且x,y的取值不變,那么(1)中的結論是否仍成立?若成立請寫出證明過程,若不成立請說明理由.
【答案】(1)3x+2y=180;(2)=;(3)成立.理由見解析
【解析】
試題分析:(1)由CD=CA,可表示出∠ADC的度數,又由三角形外角的性質,可得∠ADC=∠B+∠BAD,則可得方程:90﹣x=x+y,繼而求得答案;
(2)由CD=CA,x=40,y=30,首先可求得∠ADC的度數,繼而證得CD=CA,則可求得∠C=∠B=40°,證得AB=AC;
(3)首先在BC上取點E,使BE=CD=AB,連接AE,易證得AD=AE,繼而可得△ADB≌△AEC(SAS),則可證得結論.
解:(1)∵∠ABC=x°,CA=AB,
∴∠C=∠ABC=x°,
∵CD=CA,
∴∠ADC=∠CAD==90°﹣
x°,
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴90﹣x=x+y,
即:3x+2y=180;
(2)∵CD=CA,∠ABC=x°=40°,∠BAD=y°=30°,
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=70°,
∵CD=CA,
∴∠CAD=∠CDA=70°,
∴∠C=40°,
∴∠C=∠ABC,
∴AB=AC;
故答案為:=;
(3)成立.
理由:在BC上取點E,使BE=CD=AB,連接AE,
則∠AEB=∠EAB=(180°﹣40°)=70°,
∴∠AEB=∠ADE=70°,
∴AD=AE,
∴∠ADB=∠AEC=180°﹣70°=110°,
∵BD=BE﹣DE,CE=CD﹣DE,
∴BD=EC,
在△ADB和△AEC中,
,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴AB=AC.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于點D,AE∥BD交CB的延長線于點E.若∠E=35°,則∠BAC的度數為( )
A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
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【題目】已知關于的一元二次方程x2 +(2m+1)x+m2-4=0.
(1)若此方程有兩個不相等的實數根,求m的取值范圍.
(2)若方程的兩個根分別是平行四邊形的一組鄰邊的長,該平行四邊形為菱形,求這個四邊形的周長.
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【題目】列方程解應用題:
中華優秀傳統文化是中華民族的“根”和“魂”,是我們必須世代傳承的文化根脈、文化基因.為傳承優秀傳統文化,某校為各班購進《三國演義》和《水滸傳》連環畫若干套,其中每套《三國演義》連環畫的價格比每套《水滸傳》連環畫的價格貴60元,用4800元購買《水滸傳》連環畫的套數是用3600元購買《三國演義》連環畫套數的2倍,求每套《水滸傳》連環畫的價格.
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【題目】全民健身和醫療保健是社會普遍關注的問題.2014年,某社區共投入30萬元用于購買健身器材和藥品.2015年,該社區購買健身器材的費用比上一年增加50%,購買藥品的費用比上一年減少,但社區在這兩方面的總投入仍與2014年相同.
(1)求2014年社區購買藥品的總費用;
(2)據統計,2014年該社區積極健身的家庭達到200戶,但其藥品費用明顯減少,只占當年購買藥品總費用的.與2014年相比,如果2015年社區內健身家庭戶數增加的百分數與平均每戶健身家庭的藥品費用降低的百分數相同,那么,2015年該社區用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的
.求2015年該社區健身家庭的戶數.
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【題目】資料:小球沿直線撞擊水平格檔反彈時(不考慮垂直撞擊),撞擊路線與水平格檔所成的銳角等于反彈路線與水平格檔所成的銳角.以圖(1)為例,如果黑球 沿從
到
方向在
點處撞擊
邊后將沿從
到
方向反彈,根據反彈原則可知
,即
.如圖(2)和(3),
是一個長方形的彈子球臺面,有黑白兩球
和
,小球沿直線撞擊各邊反彈時遵循資料中的反彈原則.(回答以下問題時將黑白兩球均看作幾何圖形中的點,不考慮其半徑大小)
(1)探究(1):黑球 沿直線撞擊臺邊
哪一點時,可以使黑球
經臺邊
反彈一次后撞擊到白球
?請在圖(2)中畫出黑球
的路線圖,標出撞擊點,并簡單證明所作路線是否符合反彈原則.
(2)探究(2):黑球 沿直線撞擊臺邊
哪一點時,可以使黑球
先撞擊臺邊
反彈一次后,再撞擊臺邊
反彈一次撞擊到白球
?請在圖(3)中畫出黑球
的路線圖,標出黑球撞擊
邊的撞擊點,簡單說明作法,不用證明.
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【題目】閱讀理解題:
定義:如果一個數的平方等于-1,記為i2=-1,這個數i叫做虛數單位.那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數,表示為a+bi(a,b為實數),a叫這個復數的實部,b叫做這個復數的虛部,它的加,減,乘法運算與整式的加,減,乘法運算類似.
例如計算:(5+i)×(3-4i)=19-17i.
(1)填空:i3= ,i4= .
(2)計算:(3+i)2;
(3)試一試:請利用以前學習的有關知識將化簡成a+bi的形式
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【題目】定義:有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.
(1)已知:如圖1,四邊形是“等對角四邊形”,
,
,
.求
,
的度數.
(2)在探究“等對角四邊形”性質時:
① 小紅畫了一個“等對角四邊形”(如圖2),其中
,
,此時她發現
成立.請你證明此結論.
② 由此小紅猜想:“對于任意‘等對角四邊形’,當一組鄰邊相等時,另一組鄰邊也相等”.你認為她的猜想正確嗎?若正確,請證明;若不正確,請舉出反例.
(3)已知:在“等對角四邊形”中,
,
,AB=AD=4,.求∠D和對角線
的長.
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【題目】2004年4月我國鐵路第5次大提速。假設Kl20次空調快速列車的平均速度提速后比提速前提高了44千米/時,提速前的列車時刻表如下:
行駛區間 | 車次 | 起始時刻 | 到站時刻 | 歷時 | 全程里程 |
A地—B地 | K120 | 2:00 | 6:00 | 4小時 | 264千米 |
請你根據題目提供的信息,填寫提速后的列車時刻表,并寫出計算過程。
行駛區間 | 車次 | 起始時刻 | 到站時刻 | 歷時 | 全程里程 |
A地—B地 | K120 | 2:00 | 264千米 |
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