Question

【題目】如圖，已知半圓的直徑，在中，，，，半圓以的速度從左向右運動，在運動過程中，點、始終在直線上．設運動時間為，當時，半圓在的左側，．

當為何值時，的一邊所在直線與半圓所在的圓相切？

當的一邊所在直線與半圓所在的圓相切時，如果半圓與直線圍成的區域與三邊圍成的區域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）1s或4s或7s或16s；（2）或．

【解析】

（1）隨著半圓的運動分四種情況：①當點E與點C重合時，AC與半圓相切，②當點O運動到點C時，AB與半圓相切，③當點O運動到BC的中點時，AC再次與半圓相切，④當點O運動到B點的右側時，AB的延長線與半圓所在的圓相切．分別求得半圓的圓心移動的距離后，再求得運動的時間．

（2）在1中的②，③中半圓與三角形有重合部分．在②圖中重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，故可根據扇形的面積公式求解．在③圖中，所求重疊部分面積為=S△POB+S扇形DOP．

（1）①如圖，當點E與點C重合時，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了2cm，所求運動時間為：t==1（s）；

②如圖，當點O運動到點C時，過點O作OF⊥AB，垂足為F．

在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm，則OF=6cm，即OF等于半圓O的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了8cm，所求運動時間為：t==4（s）；

③如圖，當點O運動到BC的中點時，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了14cm，所求運動時間為：t==7（s）；

④如圖，當點O運動到B點的右側，且OB=12cm時，過點O作OQ⊥AB，垂足為Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，即OQ等于半圓O所在的圓的半徑，所以直線AB與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了32cm，所求運動時間為：t==16（s）．

綜上所述：t=1s或4s或7s或16s．

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分的只有如圖②與③所示的兩種情形．

①如圖②，設OA與半圓O的交點為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，所求重疊部分面積為：S扇形EOM=π×62=9π（cm2）；

②如圖③，設AB與半圓O的交點為P，連接OP，過點O作OH⊥AB，垂足為H．

則PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm，則OH=3cm，BH=3cm，BP=6cm，S△POB=×6×3=9（cm2），又因為∠DOP=2∠DBP=60°，所以S扇形DOP==6π（cm2），所求重疊部分面積為：S△POB+S扇形DOP=9+6π（cm2）．

綜上所述：重疊面積為或．