Question

閱讀材料：已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為x₁、x₂，則x₁+x₂=-

b

a

；x_1x2=

c

a

．根據該材料解答下列問題：
已知x₁、x₂是關于x的方程x²-4kx+4=0的兩個實數根，且滿足：x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8．求k、x₁、x₂的值．

Answer 1

分析：由x₁、x₂是關于x的方程x²-4kx+4=0的兩個實數根，利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，把已知的等式變形后，將求出的兩根之和與之積代入，求出k的值，確定出方程，利用公式法求出方程的解即可得到x₁、x₂的值．

解答：解：∵x₁、x₂是關于x的方程x²-4kx+4=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，
又∵x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-6（x₁+x₂）=16k²-8-24k=-8，
即k（2k-3）=0，
∴k=0（不合題意，舍去）或k=

3

2

，
將k=

3

2

代入方程得：x²-6x+4=0，
這里a=1，b=-6，c=4，
∵△=b²-4ac=36-16=20，
∴x=

6± 20

2

=3±

5

，
則x₁=3+

5

，x₂=3-

5

．

點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若方程有解時，設方程的兩解分別為x₁、x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．