Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，以點M(1,-1)為圓心，以為半徑作圓，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，二次函數的圖象經過點A、B、C，頂點為E.

（1）求此二次函數的表達式；
（2）設∠DBC＝a，∠CBE＝b，求sin（a－b）的值；
（3）坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)；（2）；（3）P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0）.

試題分析：（1）由M（1，-1）為圓心，半徑為可求出A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，1），把A、B、C三點代入二次函數解析式求出a、b、c的值即可；
（2）在Rt△BCE中與Rt△BOD中可求出∠CBE＝∠OBD＝b，故sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC=；
（3）存在，Rt△COA∽Rt△BCE，此時點P₁（0，0）過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，由Rt△CAP₂ ∽Rt△BCE，得P₂（0，），過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）故在坐標軸上存在三個點P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），.
試題解析：（1）∵M（1，-1）為圓心，半徑為
∴OA=1，OB=3，OC=3，OD=1，
∴A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，1）
把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入二次函數y=ax²+bx+c
解得：a=1，b=-2，c=-3
∴ 二次函數表達式為
（2）過點E作EF⊥y軸于點F
∵
∴可得
∵點E為二次函數的頂點
∴點E的坐標為
∴
∵
∴∠OCB=∠ECF=45º
∴∠BCE=90º
∵在Rt△BCE中與Rt△BOD中，
，
∴∠CBE＝∠OBD＝b，
∴ sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝
（3）顯然 Rt△COA∽Rt△BCE，此時點P₁（0，0）
過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，由Rt△CAP₂ ∽Rt△BCE，得P₂（0，）
過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）
故在坐標軸上存在三個點P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），使得以P、A、C為頂點的三角形與BCE相似
考點:1.二次函數解析式；2.相似三角形的判定與性質．