Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，點在軸上，其坐標為，拋物線經過點為第三象限內拋物線上一動點.

求該拋物線的解析式.

連接，過點作軸交于點，當的周長最大時，求點的坐標和周長的最大值.

若點為軸上一動點，點為平面直角坐標系內一點.當點構成菱形時，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(2,)；（3）點的坐標為或或或.

【解析】

⑴ 代入A、B點坐標得出拋物線的交點式y=a（x+4）（x-2），然后代入C點坐標即可求出；

⑵ 首先根據勾股定理可以求出AC=5，通過PE∥y軸，得到△PED∽△AOC，PD:AO=DE:OC=PE:AC,得到PD:4=DE:3=PE:5，PD,DE分別用PE表示，可得△PDE的周長=PE，要使△PDE周長最大，PE取最大值即可；設P點的橫坐標a，那么縱坐標為a2+a-3，根據E點在AC所在的直線上，求出解析式，那么E點的橫坐標a，縱坐標-a-3，從而求出PE含a的二次函數式，求出PE最大值，進而求出P點坐標及△PDE周長.

⑶ 分類討論

① 當BM為對角線時點F在y軸上，根據對稱性得到點F的坐標.

② 當BM為邊時，BC也為邊時，求出BC長直接可以寫出F點坐標，分別是點M在軸負半軸上時，點F的坐標為;點M在軸正半軸上時，點F的坐標為.

③ 當BM為邊時，BC也為對角線時，首先求出BC所在直線的解析式

，然后求出BC中點的坐標，MF所在直線也經過這點并且與BC所在的直線垂直，所以可以求出MF所在直線的解析式，可以求出M點坐標，求出F點的橫坐標，代入MF解析式求出縱坐標，得到F

解：拋物線經過點，它們的坐標分別為，

故設其解析式為.

又拋物線經過點，代入解得，

則拋物線的解析式為.

，

.

.

又軸，，

∴△PDE∽△AOC.

，即，

∴的周長

則要使周長最大，取最大值即可.

易得所在直線的解析式為.

設點，

則，

當時，取得最大值，最大值為，則.

點的坐標為或或或

提示：具體分情況進行討論，如圖.

① 為對角線時，顯然，點在軸上，根據對稱性得到點的坐標為;

②當為邊時，，則有以下幾種情況：

(I)為邊時，

點在軸負半軸上時，點的坐標為;

點在軸正半軸上時，點的坐標為.

(I) 為對角線時，

根據點，點可得所在直線的解析式為

中點的坐標為

則MF所在的直線過線段的中點，并垂直于，得到其解析式為.

交軸于點，則點的橫坐標為，代入的解析式得到，

故點的坐標為，

綜上所述，點的坐標為或或或