Question

已知關于x的函數y=mx²+（m-1）x-2m+1．
（1）當m為何值時，函數圖象與x軸只有一個交點，并求出交點坐標；
（2）當m為何值時，函數圖象與x軸相交于A、B兩點，且AB=1．

Answer 1

分析：（1）當拋物線與x軸只有一個交點時，其△=0，進而得到一個關于m的方程，求解后代入原函數進而求得交點坐標；
（2）根據與橫軸兩交點之間的距離等于1，得到一個有關m的方程，然后求得m的值．

解答：解：（1）①若m=0，函數為一次函數，
圖象為直線，必與x軸只有一個交點．
原方程即y=-x+1，當y=0時，x=1，
所以與x軸交點為（1，0）
②若m≠0，函數為二次函數，
拋物線與x軸只有一個交點時，b²-4ac=0，且

b2-4ac=(m-1)2-4m(-2m+1) =9m2-6m+1 =(3m-1)2

即（3m-1）²=0
解得m1，2=

1

3

原方程即y=

1

3

x2-

2

3

x+

1

3

，
當y=0時，x_1，2=1，所以與x軸交點為（1，0）

（2）函數圖象與x軸相交于AB兩點，
即當y=0時，mx²+（m-1）x-2m+1=0，
解得x1=1，x2=

1-2m

m

又AB=1，即|

1-2m

m

-1|=1
解得m1=

1

2

，m2=

1

4

，經檢驗，結論成立．

點評：本題時一道二次函數與一元二次方程相結合的題目，同時本題還滲透了分類討論思想，同時還提醒學生們注意二次項系數不能為0．