Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點B（﹣2，0），點C（8，0），與y軸交于點A．

（1）求二次函數y=ax2+bx+4的表達式；
（2）連接AC，AB，若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求N點的坐標；
（3）連接OM，在（2）的結論下，求OM與AC的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點B，點C的坐標分別代入y=ax2+bx+4可得 ，解得 ，

∴二次函數的表達式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：設點N的坐標為（n，0）（﹣2＜n＜8），

則BN=n+2，CN=8﹣n．

∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴BC=10，

在y=﹣ x2+ x+4中令x=0，可解得y=4，

∴點A（0，4），OA=4，

∴S△ABN= BNOA= （n+2）×4=2（n+2），

∵MN∥AC，

∴ ，

∴ = = ，

∴ ，

∵﹣ ＜0，

∴當n=3時，即N（3，0）時，△AMN的面積最大

（3）

解：當N（3，0）時，N為BC邊中點，

∵MN∥AC，

∴M為AB邊中點，

∴OM= AB，

∵AB= = =2 ，AC= = =4 ，

∴AB= AC，

∴OM= AC

【解析】（1）由B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）可設N（n，0），則可用n表示出△ABN的面積，由NM∥AC，可求得 ，則可用n表示出△AMN的面積，再利用二次函數的性質可求得其面積最大時n的值，即可求得N點的坐標；（3）由N點坐標可求得M點為AB的中點，由直角三角形的性質可得OM= AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中可分別求得AB和AC的長，可求得AB與AC的關系，從而可得到OM和AC的數量關系．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數圖象以及系數a、b、c的關系的相關知識，掌握二次函數y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）．