Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑作⊙O．與AC相切于點E，連結DE并延長與BC的延長線交于點F．

（1）求證：EF2=BDCF；

（2）若CF=1，BD=5．求sinA的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）sinA=

【解析】

試題（1）連接OE，由AC為圓O的切線，利用切線的性質得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE與BC平行，根據O為DB的中點，得到E為DF的中點，即OE為三角形DBF的中位線，利用中位線定理得到OE為BF的一半，再由OE為DB的一半，求出BD=BF，證△BHE與△ECF相似即可；

（2）連接DQ，求出EF，根據勾股定理求出BE，根據三角形面積公式求出DQ，根據勾股定理求出BQ，求出∠BAC=∠BDQ，解直角三角形求出即可．

試題解析：（1）如圖1，連接OE、BE，

∵AC與圓O相切，

∴OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

又∵O為DB的中點，

∴E為DF的中點，即OE為△DBF的中位線，

∴OE=BF，

又∵OE=BD，

則BF=BD，

∵BD為⊙O直徑，

∴∠BED=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BEF=∠ECF=90°，

∵∠F=∠F，

∴△ECF∽△BEF，

∴，

∴EF2=BFCF=BDCF；

（2） 如圖2，連接DQ，

∵EF2=BDCF，CF=1，BD=5，

∴EF=，

∵BD為⊙O的直徑，

∴DQ⊥BF，BE⊥DF，

∵BD=BF，BD=5，

∴BF=5，DE=EF=，

即DF=2，

由勾股定理得：BE==2，

∵在△BDF中，由三角形面積公式得：BF×DQ=DF×BE，

∴5DQ=2×2，

∴DQ=4，

在Rt△BDQ中，BD=5，DQ=4，由勾股定理得：BQ=3，

∵∠ACB=90°，DQ⊥BF，

∴DQ∥AC，

∴∠A=∠BDQ，

∴sinA=sin∠BDQ=．