Question

如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A₁．
（1）當∠A為70°時，則
∵∠ACD-∠ABD=∠______
∴∠ACD-∠ABD=______°
∵BA₁、CA₁是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線
∴∠A₁CD-∠A₁BD=（∠ACD-∠ABD）
∴∠A₁=______°；
（2）根據①中的計算結果寫出∠A與∠A₁之間等量關系______；
（3）∠A₁BC的角平分線與∠A₁CD的角平分線交于A₂，∠A₂BC與A₂CD的平分線交于A₃，如此繼續下去可得A₄、_…、A_n，請寫出∠A₆與∠A的數量關系______；
（4）如圖，若E為BA延長線上一動點，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當E滑動時有下面兩個結論：
①∠Q+∠A₁的值為定值；②∠Q-∠A₁的值為定值，其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結論，并求出其值．

Answer 1

解：（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2∠A₁；

（3）∠A=64∠A₆；

（4）∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA₁、CA₁是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BD=∠BAC，
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分線，
∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-∠BAC，
∴∠Q+∠A₁=180°．
因此①∠Q+∠A₁的值為定值正確．
分析：（1）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和的性質填空即可；
（2）根據（1）的計算可知∠A=2∠A₁；
（3）根據前兩問的計算過程可知∠A=2ⁿ∠A_n，所以求∠A與∠A₆的關系，把n換成6計算即可；
（4）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義求出表示出∠Q=180°-∠A與∠A₁=∠A即可得出結論①是正確的．
點評：本題主要考查三角形的外角性質和角平分線的定義的運用，根據推導過程對題目的結果進行規律總結對解題比較重要．