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精英家教網如圖,直線MN交⊙O于A,B兩點,AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過D作DE⊥MN于E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=6,AE=2
3
,求⊙O的半徑;
(3)在第(2)小題的條件下,則圖中陰影部分的面積為
 
分析:(1)首先由等腰三角形的性質,可得∠OAD=∠ODA,易證得DO∥MN,即可得DE⊥OD,即得DE是⊙O的切線;
(2)由勾股定理可求得AD的長,由相似三角形性質可求得AC的長,得到圓的半徑;
(3)根據陰影部分的面積等于扇形面積減去等邊三角形OAB的面積求解即可.
解答:精英家教網解:(1)連接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAM,∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE,
∴DO∥MN,
∵DE⊥MN,
∴DE⊥OD,
∵D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切線;

(2)∵∠AED=90°,DE=6,AE=2
3
,
∴AD=
DE2+AE2
=
62+(2
3
)
2
=4
3
,
連接CD,
∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=∠AED=90°,
∵∠CAD=∠DAE,
∴△ACD∽△ADE,
AD
AE
=
AC
AD

4
3
2
3
=
AC
4
3
,
∴AC=8
3

∴⊙O的半徑是4
3
;

(3)過點O作OF⊥AB于F,
精英家教網∵cos∠DAE=
AE
AD
=
2
3
4
3
 =
1
2
,
∴∠DAE=60°,
∴∠DAC=60°,
∴∠CAB=60°,
∴∠AOF=30°,
∴∠AOB=60°,
∴cos∠CAB=
AF
OA
=
AF
4
3
=
1
2

∴AF=2
3
,
∴OF=6,
∴S陰影=S扇形-S△OAB=8π-12
3
點評:此題考查了圓的切線的性質與判定,以及相似三角形的判定與性質和三角函數的性質.此題綜合型性比較強,解題時要注意數形結合思想的應用.
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-
3
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