Question

【題目】如圖①，等邊三角形的邊長為2，是邊上的任一點(與不重合)，設，連接，以為邊向兩側作等邊三角形和等邊三角形，分別與邊交于點．

(1)求證：；

(2)求四邊形與△ABC重疊部分的面積與之間的函數關系式及的最小值；

(3)如圖②，連接，分別與邊交于點．當為何值時，．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；的最小值為；（3）當時，．

【解析】

（1）根據等邊三角形性質得出，據此通過證明△ADM和△APN全等后利用全等三角形性質證明結論即可；

（2）作于點，首先結合（1）中結論得出四邊形與△ABC重疊部分四邊形的面積的面積，之后利用勾股定理以及三角函數的概念求出△ADP的面積，由此進一步分析求解即可；

（3）連接PG，利用菱形的性質以及等腰直角三角形的性質進一步進行計算即可.

(1)證明：∵△ABC，△APD，△APE都是等邊三角形，

∴，

∴．

在△ADM和△APN中，

∵

∴△ADM△APN(ASA)，

∴；

(2)如圖，作于點．

∵△ADM△APN

∴四邊形與△ABC重疊部分四邊形的面積的面積．

∵，，

∴，，

∴，

由勾股定理，得，

∵是等邊三角形，

∴△ADP的面積=，

即：，

∴的最小值為；

(3)連接，如圖：

當時，

∵，

∴．

易知四邊形是菱形，

∴．

∴，

∴．

∴．

∵，

∴，，

∴．

解得．

∴當時，．