Question

【題目】如圖，Rt△AOB在平面直角坐標系中,點O與坐標原點重合,點A在x軸上,點B在y軸上,，將△AOB沿直線BE折疊,使得OB邊落在AB上,點O與點D重合.

（1）求直線BE的解析式;

（2）求點D的坐標;

（3）x軸上是否存在點P，使△PAD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=x+2 （2）（-3，）（3） 或（）或（0,0）或（-4,0）

【解析】

（1）先利用直角三角形的性質（直角三角形中，如果有一個角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．）和勾股定理求出點的坐標E（﹣2，0），進一步用待定系數法求出一次函數的解析式y=x+2．

（2）過D作DG⊥OA于G．由折疊可知DE=2．再由∠EDG=30°，得到GE=1，DG=，從而可求出D的坐標；

（3）設P（x，0）．可求得DG=，AD=．然后分三種情況討論：

①以A為圓心，AD為半徑作圓與x軸交于點P；②以D為圓心，DA為半徑作圓與x軸交于點P；③設線段AD的垂直平分線交x軸于P．

（1）∵OB=，AO=6，∴AB==，∴∠BAO=30°，∴∠ABO=60°．

∵沿BE折疊O、D重合，∴∠EBO=30°，OE=BE，設OE=x，則（2x）2=x2+，∴x=2，即 BE=4，E（﹣2，0），設y=kx+b代入得：，解得：，∴直線BE的解析式是：；

（2）過D作DG⊥OA于G．

∵沿BE折疊O、D重合，∴DE=2．

∵∠DAE=30°，∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，∴∠EDG=30°，∴GE=1，DG=，∴OG=1+2=3，∴D的坐標是：D；

（3）設P（x，0）．

∵∠OAB=30°，DG=，∴AD=2DG=．分三種情況討論：

①以A為圓心，AD為半徑作圓與x軸交于點P，則AP=AD=，∴P(，0)；

②以D為圓心，DA為半徑作圓與x軸交于點P，則AP=2AG= DG=6．

∵OA=6，∴P與O重合，∴P（0，0）；

③設線段AD的垂直平分線交x軸于P，則PA=PD，∴，解得：x=－4，∴P（－4，0）．

綜上所述：P的坐標為：P(，0)或P（0，0）或P（－4，0）．