Question

如圖：直線y=-x+18分別與x軸、y軸交于A、B兩點；直線y=2x分別與AB交于C點，與過點A且平行于y軸的直線交于D點．點E從點A出發，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動，過點E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點E的運動時間為t（秒）．
（1）當0＜t＜12時，求S與t之間的函數關系式；
（2）求（1）中S的最大值；
（3）當t＞0時，若點（10，10）落在正方形PQMN的內部，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x+18分別與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴A（18，0），B（0，18），
∵直線y=2x與AB交于C點，
∴，
解得：x=6，y=12，
∴點C（6，12），
∵直線y=2x與過點A且平行于y軸的直線交于D點，
∴D（18，36），
過點C作CH⊥AD，則CH=18-6=12，
∵PQ∥AD，
∴CH⊥PQ，△CPQ∽△CAD，
∴，
∵PK=t，則CG=12-t，
即：，
∴PQ=36-3t，
∴當0＜t＜12時，求S與t之間的函數關系式為S=t（36-3t）=-3t²+36t；

（2）∵S=-3t²+36t=-3（t-6）²+108，
∴當t=6時，S最大，最大值為108；

（3）當點Q的橫坐標是10時，
則Q（10，20），E（10，0），P（10，8），
∴PE=8，PQ=12，
∴PQ=36-3t=12，
解得：t=8；
當N的坐標為（10，10）時，
則點P的縱坐標為10，
∴P（8，10），
∴E（8，0），
∴AE=10；
即t=10；
∴t的取值范圍為：8＜t＜10．
分析：（1）首先根據題意求得A，B，C，D的坐標，然后過點C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性質，即可求得PQ的值，則可求得S與t之間的函數關系式；
（2）配方，即可求得二次函數的最大值，即是S的最大值；
（3）當PQ過點（10，10）時，t最��；當N與（10，10）重合時，t最大，根據題意求解即可．
點評：此題考查了一次函數的綜合應用，考查了相似三角形的性質與判定，正方形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題時要注意數形結合思想的應用．