Question

（2012•常州）平面上有兩條直線AB、CD相交于點O，且∠BOD=150°（如圖），現按如下要求規定此平面上點的“距離坐標”：
（1）點O的“距離坐標”為（0，0）；
（2）在直線CD上，且到直線AB的距離為p（p＞0）的點的“距離坐標”為（p，0）；在直線AB上，且到直線CD的距離為q（q＞0）的點的“距離坐標”為（0，q）；
（3）到直線AB、CD的距離分別為p，q（p＞0，q＞0）的點的“距離坐標”為（p，q）．
設M為此平面上的點，其“距離坐標”為（m，n），根據上述對點的“距離坐標”的規定，解決下列問題：
（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：
①滿足m=1，且n=0的點M的集合；
②滿足m=n的點M的集合；
（2）若點M在過點O且與直線CD垂直的直線l上，求m與n所滿足的關系式．（說明：圖中OI長為一個單位長）

Answer 1

分析：（1）①以O為圓心，以2為半徑作圓，交CD于兩點，則此兩點為所求；②分別作∠BOC和∠BOD的角平分線并且反向延長，即可求出答案；
（2）過M作MN⊥AB于N，根據已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根據銳角三角函數得出sin60°=

MN

OM

=

m

n

，求出即可．

解答：解：（1）①如圖所示：

點M₁和M₂為所求；

②如圖所示：

直線MN和直線EF為所求；


（2）如圖：

過M作MN⊥AB于N，
∵M的“距離坐標”為（m，n），
∴OM=n，MN=m，
∵∠BOD=150°，直線l⊥CD，
∴∠MON=150°-90°=60°，
在Rt△MON中，sin60°=

MN

OM

=

m

n

，
即m與n所滿足的關系式是：m=

3

2

n．

點評：本題考查了銳角三角函數值，角平分線性質，含30度角的直角三角形的應用，主要考查學生的動手操作能力和計算能力，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．