Question

如圖，已知AB為⊙O的弦，M為AB的中點，P為⊙O上任意一點，以點P為圓心、2MO為半徑作圓并交⊙O于點C、D，AC、BD交于點Q，請問：
（1）點Q是△PAB的什么“心”？
（2）點Q是否在⊙P上？試證明你的結論．
提示：（1）三角形的三條高線交于一點，稱為垂心定理，此點稱為垂心．
（2）三角形有內心、外心、重心、垂心等．

Answer 1

解：（1）如圖，作⊙O的直徑BE，連接OM、PD、DE、EA．
∵BE為⊙O直徑，
∴∠BAE=90°，
而M為AB的中點，所以OM⊥AB，
∴AE∥MO，AE=2MO．
而PD=2OM，
∴AE=PD，
∴∠DEP=∠EPA，
∴DE∥AP，
又∵∠BDE=90°，即BD⊥DE，
所以，BD⊥PA，
即點Q在△PAB的頂點B到底邊PA的垂線上．
連接PE、PC．
同理可得AC⊥PB，即點Q在△PAB的頂點A到底邊PB的垂線上．
∴Q是△PAB兩條高的交點，
故Q為△PAB的垂心．

（2）點Q在⊙P上．
理由如下：
連接PQ．
∴PQ⊥AB，
而AE⊥AB，
∴PQ∥AE．
又∵PE∥AC，即有PE∥AQ，
∴四邊形AQPE為平行四邊形．
∴PQ=AE=PC=2MO．
故點Q在⊙P上．
分析：（1）作⊙O的直徑BE，連接OM、PD、DE、EA．先由∠BAE=90°OM⊥AB，證明出AE=2MO．而PD=2OM，得AE=PD，得∠DEP=∠EPA，所以DE∥AP，而BD⊥DE，于是BD⊥PA，同理可得AC⊥PB，因此判斷Q為△PAB的垂心．
（2）連接PQ．由PQ⊥AB，AE⊥AB，得PQ∥AE，而PE∥AC，得到四邊形AQPE為平行四邊形，所以PQ=AE=PC=2MO，故點Q在⊙P上．
點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了圓周角的推論：直徑所對的圓周角為90度．也考查了三角形中位線的性質和平行線的性質．