Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2，點M、N分別在線段AC、AB上，將△AMN沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，則AN的長為_____．

Answer 1

【答案】或4﹣6．

【解析】

△DCM為直角三角形，需要分兩種情況進行討論：當∠CDM＝90°時；當∠CMD＝90°時，分別依據含30°角的直角三角形的性質以及等腰直角三角形的性質，即可得到AN的長．

解：分兩種情況：

①如圖，當∠CDM＝90°時，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2，

∴∠C＝30°，AB＝AC＝，

由折疊可得，∠MDN＝∠A＝60°，

∴∠BDN＝30°，

∴BN＝DN＝AN，

∴BN＝AB＝，

∴AN＝2BN＝；

②如圖，當∠CMD＝90°時，△CDM是直角三角形，

由題意可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，

∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，

∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，

又∵AB＝，

∴2BD+BD＝，

解得：BD＝2﹣3，

∴AN＝2BD＝4﹣6；

綜上所述，AN的長或4﹣6；

故答案為：或4﹣6．