Question

【題目】如圖（1），拋物線y=ax2+bx+3經過A（-3，0），B（-1，0）兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D.現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；

（3）如圖（2），將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F兩點.問在y軸的負半軸上是否存在點P，使△PEF的內心在y軸上.若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2+4x+3；（2） h=4或≤h<；（3）y軸的負半軸上存在點P（0,-3），使△PEF的內心在y軸上.

【解析】

（1）將A（-3，0）、B（-1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出頂點坐標即可；

（2）配方后即可確定其頂點坐標，然后利用平移規律確定函數的解析式，然后根據線段與拋物線有唯一的公共點求得h的值或取值范圍即可；

（3）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x2，設MN的解析式為y=kx+3（k≠0）．假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過M，N作GH的垂線，垂足為G，H．根據△PMN的內心在y軸上，得到∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，從而△GMP∽△HNP，利用相似三角形對應邊成比例即可列出有關t的方程求解即可．

（1）拋物線y=ax2+bx+3經過A（-3，0），B（-1，0）兩點

∴9a-3b+3=0且a-b+3=0

解得a=1，b=4

∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3

（2）由（1）配方得y=（x+2）2-1

∴拋物線的頂點M（-2，-1）

∴直線OM的解析式為y=x

于是設平移的拋物線的頂點坐標為（h，h），

∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）2+h，．

①當拋物線經過點E時，

∵C（0，9），

∴h2+h=9，

解得h=．

∴當≤h＜時，平移的拋物線與線段EF只有一個公共點．

②當拋物線與線段CD只有一個公共點時，

由方程組y=（x-h）2+h，y=-2x+9．

得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，

∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，

解得h=4．

此時拋物線y=（x-4）2+2與線段CD唯一的公共點為（3，3），符合題意．

綜上：平移的拋物線與線段CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的值或取值范圍是h=4或≤h＜．

（3）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x2，

設EF的解析式為y=kx+3（k≠0）．

假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過E，F作GH的垂線，垂足為G，H．

∵△PEF的內心在y軸上，

∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，

∴△GEP∽△HFP，

∴，

∴

∴2kxExF=（t-3）（xE+xF）

由y=x2，y=kx+3．得x2-kx-3=0．

∴xE+xF=k，xExF=-3．

∴2k（-3）=（t-3）k，

∵k≠0，

∴t=-3．

∴y軸的負半軸上存在點P（0，-3），使△PEF的內心在y軸上．